Βασική διαφορά: Το Axiom και το θεώρημα είναι δηλώσεις που χρησιμοποιούνται πιο συχνά στα μαθηματικά ή στη φυσική. Ένα αξίωμα είναι μια δήλωση που γίνεται δεκτή ως αληθής. Δεν χρειάζεται να αποδειχθεί. Ένα θεώρημα, από την άλλη πλευρά, είναι μια δήλωση που έχει αποδειχθεί αληθινή.
Σύμφωνα με το Dictionary.com, ένα αξίωμα ορίζεται ως:
- Μια αυτονόητη αλήθεια που δεν απαιτεί καμία απόδειξη.
- Μια παγκοσμίως αποδεκτή αρχή ή κανόνας.
- Λογική, Μαθηματικά. Μια πρόταση που υποτίθεται χωρίς απόδειξη για χάρη της μελέτης των συνεπειών που προκύπτουν από αυτήν.
Ουσιαστικά, τα αξιώματα είναι υποθέσεις που δεν χρειάζεται να αποδειχθούν. Είναι γενικά αποδεκτές ως αληθινές, είτε επειδή δεν έχουν αντίφαση είτε διότι προφανώς γνωρίζουμε ότι είναι αλήθεια. Η λέξη αξίωμα προέρχεται από μια ελληνική λέξη που σημαίνει "αυτό που πιστεύεται ότι αξίζει ή ταιριάζει", ή "αυτό που θεωρεί ότι είναι προφανές". Το Axiom μπορεί μερικές φορές να χρησιμοποιηθεί εναλλάξιμα με το postulate ή την υπόθεση.
Ένα θεώρημα, από την άλλη πλευρά, πρέπει να αποδειχθεί. Το Dictionary.com ορίζει το θεώρημα ως εξής:
- Μαθηματικά. Μια θεωρητική πρόταση, δήλωση ή τύπος που ενσωματώνει κάτι που πρέπει να αποδειχθεί από άλλες προτάσεις ή τύπους.
- Ένας κανόνας ή νόμος, ειδικά ένας κανόνας ή ένας τύπος.
- Λογική. Μια πρόταση που μπορεί να συναχθεί από τις εγκαταστάσεις ή τις υποθέσεις ενός συστήματος.
- Μια ιδέα, πίστη, μέθοδος ή δήλωση γενικά αποδεκτή ως αληθής ή αξίζει τον κόπο χωρίς απόδειξη.
Ένα θεώρημα είναι μια δήλωση που έχει αποδειχθεί μέσω δοκιμών ή υπολογισμών. Μπορεί να αποδειχθεί με βάση τα θεωρήματα, τα οποία έχουν δοκιμαστεί προηγουμένως ή βάσει αξιωμάτων. Τα θεωρήματα αποτελούνται από δύο μέρη: υποθέσεις και συμπεράσματα.
